By A.K. Boiarchuk, G.P. Golovach ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.

ISBN-10: 5836004587

ISBN-13: 9785836004583

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C2e{~l+i)x Para obtener la solución particular utilizaremos el método de los coeficientes indeterminados. Como 8e® sen x = - e ( 1 + I > i % solución particular se busca en la forma según el p. 2 la y = ae (1+i)K + bxe^i)x (1) (nótese que el factor x en el segundo sumando de (1) aparece como consecuencia de que la raíz Ao coincide con el número 1 - «). Sustituyendo (1) en la ecuación inicial, se obtiene una identidad respecto a x, a partir de la cual determinamos a = - 1 , De esta manera, y = (Cx + (i - l)x)e{1~i)x + C2e{i"l)x - e cl+í)a; es la solución general de la ecuación no homogénea.

Aplicando el método de variación de las constantes C\ y C2 que intervienen en la solución general de la ecuación homogénea asociada y = Cj sen x + C 2 eos x, (1) obtenemos el sistema C[(x) sen x + C 2 (x) eos x = 0, C[ (x) eos x — C2(®) sen x = f(x), del cual se infiere que C[(x) = f (x)eosx, Integrando, hallamos C 2 (x) = —f(x) sena?. C\{x) = I f{x) eos x dx + C\, (2) C2(x) = — / f(x) sen x dx -f Supongamos que para todo x > XQ fijo tienen sentido las expresiones X - • X a(x) = I f(s) eos s ds, fi{x) = / f(s) sen s ds.

A Solución. Dividiendo los dos miembros de la ecuación por x , obtenemos r\ ' / 2\ ' x) de donde \ 2 / x Separando las variables, resulta 2 dy 2 y2 + 2 cx Integrando, tenemos ~ x dx. dy y2 x2 + 2Ci ^ ~2 + C2, o bien 2 • y arctg Ci < ln 2 a2 y 1 y y 4- x' si Ca > 0; x' - Y + Sr/ Si Ci < 0; si Ci = 0. ^ Al separar las variables "perdimos" las soluciones y1 + 2C\ — 0 (Ci < 0), o bien y == ±s/—2C\. Sin embargo, no es difícil demostrar que dichas soluciones se obtienen a partir de la solución general para Ci < 0 cuando pasamos al límite C 2 T o o • En los problemas siguientes hallar las soluciones que satisfacen las condiciones iniciales dadas; «4 Solución.

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9. Ecuaciones Diferenciales de Órdenes Superiores, Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Derivadas Parciales by A.K. Boiarchuk, G.P. Golovach ; traducido del ruso bajo la dirección de Viktoria O. Malishenko y Guillermo Peña Feria ; revisión científica de Jairo Correa Rodríguez.


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