By Kennison L. S.

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On introduit l’application « norme » : Soit A := √ N (a + ib 5) = a2 + 5b2 ∈ N. 10) qu’un élément z ∈ A est dit irréductible si et seulement s’il vérifie la propriété suivante : z = z1 z2 et z1 ∈ A∗ =⇒ z2 ∈ A∗ 1. Montrer que z ∈ A∗ si et seulement si N (z) = 1 puis que si N (z) est un nombre premier alors z est irréductible. 2. Montrer que tout élément z ∈ A tel que N (z) = 9 est irréductible. En étudiant alors l’égalité : √ √ 3 × 3 = (2 + i 5)(2 − i 5), √ montrer que Z[i 5] n’est pas factoriel (cf.

Le A-module quotient A/I est alors naturellement muni d’une structure d’anneau propagée par celle de A via le morphisme canonique π : A → A/I : si x, y ∈ A/I , il existe a et b dans A tels que π(a) = x, π(b) = y . On pose alors xy = π(ab), et il est immédiat de voir que cette multiplication est bien définie et fait de A/I un anneau avec unité π(1) (que l’on note aussi 1 en général). 2 CALCUL MATRICIEL SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Dans toute la suite de ce chapitre, A désignera un anneau euclidien pour lequel il existe un algorithme pour la division euclidienne.

Démonstration. 13 pour faire apparaître des zéros sous la diagonale principale. a) Soit M = (aij ) (1 i n, 1 j m). Multiplions M à gauche par la matrice L1 = L1,2 (cf. e. 11) : α β γ δ = u v , −a21 /d a11 /d u et v vérifiant d = ua11 + va21 . On a en particulier αδ − βγ = 1 et donc L1 ∈ SLn (A) et la matrice M1 = L1 M a un zéro à la place (2, 1). b) On multiplie ensuite M1 à gauche par une matrice L 2 de la forme L1,3 pour faire apparaître un zéro à la place (3, 1) (ce qui remplace d par d 1 tel que (d1 ) = (d, a31 ), et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on obtienne la matrice M n−1 = Ln−1 · · · L1 M dont la première colonne est de la forme t (dn−1 0 .

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by William
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